ЕГЭ Математика: функции и графики без паники

[admin]

Что вы получите из статьи

• единый алгоритм анализа функции в профильном ЕГЭ;
• «шпаргалку» по свойствам графиков для заданий 7, 8, 10, 12;
• мини-тренажёр: прогоняем 3 типовых ситуации и сверяемся с ответом.

[hr]
1. Алгоритм чтения графика (5 шагов)

1. Выписываем оси, масштаб, единичный отрезок.
2. Считываем точки пересечения с осями.
3. Находим характерные точки (экстремумы, изломы, асимптоты).
4. Описание поведения на промежутках: возрастает/убывает, знак.
5. Интерпретируем условие задачи (что спрашивают?) и подставляем в шаблон.

Лайфхак: заведите тетрадь с табличкой «что вижу → что означает». Через 5–6 повторов мозг «видит» свойства автоматически.

2. Справочник по функциям в одном таблице

Код: Выделить всё

Функция       | Ключевые свойства                            | Где встречается
--------------|----------------------------------------------|-----------------
линейная      | график — прямая, k отвечает за наклон         | задачи на анализ прямых и систем
квадратичная  | парабола, вершина (-b/2a ; f(-b/2a))          | задания 8, 12, параметры
модульная     | все отрицательные участки отражаем вверх      | графики, неравенства
логарифм      | определена при x>0, возрастает при a>1        | производные, область определения
показательная | всегда >0, проходит через (0,1)               | неравенства, прогрессии

Пополни таблицу своими заметками (производная, область определения, касательные).

3. Типовые ловушки и как их обходить

• Смена масштаба: проверьте, равны ли клеточки по оси X и Y.
• Парные корни: на графике может быть «касание», а не пересечение.
• Область определения: кусочная функция может «откусывать» промежутки.
• Задачи на производную: если график задан производной f'(x), не перепутайте поведение f(x).

Мини-тренажёр

Код: Выделить всё

1) Укажите промежутки возрастания функции f(x), если на графике ее производной f'(x) видим промежутки + — +.
2) Найдите количество решений уравнения f(x)=2, если линия y=2 пересекает график 3 раза.
3) Определите знак выражения f'(1)*f''(1), если в точке x=1 график f(x) имеет максимум.

Ответы в конце статьи.

4. Шаблон решения «найти количество решений уравнения по графику»

1. Переносим условие в вид «график = график» (например, y=f(x) и y=g(x)).
2. На одном рисунке отмечаем обе линии (или mentally).
3. Считаем точки пересечения → столько решений.
4. Делаем вывод и обязательно указываем, что это «по графику видим N точек пересечения».

5. Краткий конспект по производной и графику

Код: Выделить всё

f'(x)>0  => функция возрастает
f'(x)<0  => функция убывает
f'(x)=0  => подозрение на экстремум (проверяем знак слева/справа)
f''(x)>0 => график выпукл вверх, минимум
f''(x)<0 => график выпукл вниз, максимум

Сделайте карточку «таблица производной» и повторяйте по минуте в день.

6. Проверяем себя
1. Возрастает ли функция на (-3; -1), если производная там положительна? (Да).
2. Сколько решений уравнения f(x)=2, если график пересекает прямую y=2 в трёх точках? (Три решения).
3. Если в x=1 максимум, то f'(1)=0 и f''(1)<0, значит произведение отрицательно.

7. Домашняя практика
- Возьмите задание №7 или №8 из любого варианта Ященко.
- Прогоните через алгоритм (описание → таблица → решение → проверка).
- Сохраните рисунок, подпишите точки, сделайте вывод.

Вывод
Работайте по шаблону, ведите таблицу свойств и не пропускайте тренажёр. Через пару недель графики перестанут пугать.