- систематизируете всю комбинаторику профиля на одном листе;
- получите шаблоны рассуждений для задач 14, 19, 21;
- сможете быстро отличать «перестановки» от «размещения» и «сочетаний» по ключевым словам.
1. Карточка по основным моделям
Код: Выделить всё
Тип | Формула | Ключевые слова
-----------------|--------------------------------|--------------------------
Правило суммы | A + B | «или», «либо», исключающие события
Правило произведения | A * B | «и», «затем», независимые этапы
Перестановки | n! | «расставить все», «все элементы»
Размещения | A^k_n = n!/(n-k)! | «упорядочить k из n», «позиции важны»
Сочетания | C^k_n = n!/(k!(n-k)!) | «выбрать k из n», «порядок не важен»
Размещения с повторениями | n^k | «пароли», «цифры могут повторяться»
2. Сюжет 1: «Пароли»
- Если цифры могут повторяться → n^k.
- Если все символы различны → перестановка/размещение без повторов.
- Дополнительные условия (нет двух одинаковых подряд) снимайте аккуратно через включение-исключение.
3. Сюжет 2: «Комитеты»
- Выбрать людей без порядка → сочетания.
- Если есть должности (председатель, секретарь) → сначала выбираем людей, потом распределяем роли.
Код: Выделить всё
Пример: выбрать троих из десяти + назначить председателя.
C^3_10 * 3! = 120 * 6 = 720.
- Все книги различны → n!.
- Книги одного автора идут рядом → объединяем в блок, считаем как перестановку блоков и перестановку внутри блока.
- Условия «не рядом» решаем через дополнение или включение-исключение.
5. Сюжет 4: «Разбиение по ящикам»
- Неупорядоченные группы → сочетания.
- Упорядоченные — размещения/перестановки.
- Если одинаковые объекты (шары) и различные ящики, полезны формулы с повторениями.
6. Сюжет 5: «Графы и маршруты»
- Линейные задачи → классическое правило произведения.
- Задачи про непересекающиеся маршруты решайте через динамику (таблицы) или «звезды-полоски».
7. Сюжет 6: «Вероятности через комбинаторику»
- Вероятность = число благоприятных вариантов / общее количество.
- Сначала считайте «общее», потом «благоприятное» тем же методом.
8. Сюжет 7: «Комбинаторика + логика»
- Часто встречается в задаче 19: «Сколько слов…».
- Используйте двоичную запись (буква/пробел) или граф переходов.
Мини-тренажёр
Код: Выделить всё
1) Сколько способов выбрать 4 человек из 7, если порядок не важен? (C^4_7 = 35)
2) Сколько 6-значных чисел можно составить из цифр 1–5, если каждая используется не более одного раза? (A^6_5 невозможно → 0, потому что элементов меньше, чем позиций)
3) Сколько перестановок слова «КОМБИНАТОРИКА»? (12!/ (2!*2!*2!))
Код: Выделить всё
День 1 — карточки и формулы
День 2 — пароли/комитеты (10 задач)
День 3 — расстановки + вероятности
День 4 — сложные сюжеты (19№ с доски)
День 5 — повторение + разбор ошибок
Всегда формулируйте вслух: «Я выбираю…» или «Я расставляю…». Мозг лучше запоминает смысл, а не формулу. Через неделю комбинаторика перестанет казаться «магией».