Задание 13: показательные и логарифмические неравенства
Задание 13 профильного ЕГЭ по математике — одно из самых сложных заданий части с развёрнутым ответом. За правильное решение можно получить 2 первичных балла. Время на решение — 15-25 минут в зависимости от сложности.
Типы неравенств в задании 13
Показательные неравенства — неравенства, содержащие переменную в показателе степени. Пример: 2^x > 8, 3^(2x-1) ≤ 27^x.
Логарифмические неравенства — неравенства, содержащие логарифмы. Пример: log₂(x+1) > 3, lg(x²-1) < lg(3x+5).
Смешанные неравенства — комбинация показательных и логарифмических функций. Пример: 2^x + log₂x > 3.
Показательные неравенства: пошаговый алгоритм
Шаг 1: Приведение к одному основанию
Все показательные выражения необходимо привести к одному основанию. Используйте свойства степеней:
• a^m × a^n = a^(m+n)
• a^m / a^n = a^(m-n)
• (a^m)^n = a^(mn)
• a^(-n) = 1/a^n
Шаг 2: Определение знака неравенства
ВАЖНО! При переходе от показательного неравенства к неравенству показателей:
• Если основание a > 1, знак неравенства СОХРАНЯЕТСЯ
• Если 0 < a < 1, знак неравенства МЕНЯЕТСЯ на противоположный
Шаг 3: Решение полученного неравенства
После отбрасывания оснований решаем обычное алгебраическое неравенство.
Пример решения
Решить неравенство: 4^x > 2^(x+3)
Решение:
1) Приводим к основанию 2: (2²)^x > 2^(x+3) → 2^(2x) > 2^(x+3)
2) Основание 2 > 1, значит знак сохраняется: 2x > x + 3
3) Решаем: x > 3
4) Ответ: x ∈ (3; +∞)
Логарифмические неравенства: пошаговый алгоритм
Шаг 1: Нахождение ОДЗ (области допустимых значений)
Для логарифма log_a(f(x)) требуется:
• f(x) > 0 (подлогарифмическое выражение положительно)
• a > 0 и a ≠ 1 (основание положительно и не равно 1)
ОДЗ ВСЕГДА записывайте первым пунктом решения!
Шаг 2: Приведение к одному основанию
Используйте свойства логарифмов:
• log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)
• log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)
• log_a(x^n) = n × log_a(x)
• log_a(b) = log_c(b) / log_c(a) (переход к другому основанию)
Шаг 3: Отбрасывание логарифмов
При переходе от log_a(f(x)) > log_a(g(x)):
• Если a > 1, знак СОХРАНЯЕТСЯ: f(x) > g(x)
• Если 0 < a < 1, знак МЕНЯЕТСЯ: f(x) < g(x)
Шаг 4: Пересечение с ОДЗ
Полученный ответ ОБЯЗАТЕЛЬНО пересекаем с ОДЗ!
Пример решения
Решить неравенство: log₃(x+5) > log₃(2x-1)
Решение:
1) ОДЗ: x + 5 > 0 и 2x - 1 > 0 → x > -5 и x > 0.5 → x > 0.5
2) Основание 3 > 1, знак сохраняется: x + 5 > 2x - 1
3) Решаем: 6 > x → x < 6
4) Пересекаем с ОДЗ: 0.5 < x < 6
5) Ответ: x ∈ (0.5; 6)
Метод рационализации (универсальный метод)
Для сложных неравенств с переменным основанием используется метод рационализации.
Суть метода: неравенство (a-1)(f(x)-g(x)) > 0 эквивалентно исходному при выполнении условий существования логарифмов.
Это позволяет свести любое логарифмическое неравенство к рациональному.
Типичные ошибки и как их избежать
Ошибка 1: Забыли найти ОДЗ
Решение: ВСЕГДА начинайте с ОДЗ, записывайте его первым пунктом
Ошибка 2: Неверный знак при 0 < a < 1
Решение: Подчёркивайте основание и сразу пишите, больше или меньше единицы
Ошибка 3: Потеряли решение при пересечении с ОДЗ
Решение: Рисуйте числовую прямую, отмечайте все условия
Ошибка 4: Арифметическая ошибка в преобразованиях
Решение: Проверяйте подстановкой контрольной точки
Чек-лист перед сдачей работы
✓ ОДЗ найдено и записано полностью
✓ Все основания приведены правильно
✓ Знак неравенства учтён в зависимости от основания
✓ Ответ пересечён с ОДЗ
✓ Запись ответа в правильном формате (промежутки с круглыми/квадратными скобками)
✓ Проверка подстановкой одной точки из ответа
Практикуйтесь на реальных заданиях из банка ФИПИ и вариантов прошлых лет!
Администратор
Сообщения: 75
Зарегистрирован: 19 апр 2025, 00:59
Администратор