Планиметрия профиля: окружности, углы, чек-листы Пифагора

[admin]

Раздел для тех, кто хочет «укротить» планиметрию

• вспоминаем ключевые теоремы об окружности;
• получаем чек-листы по углам, касательным, хордам;
• разбираем реальный прототип из банка ФИПИ.

[hr]
1. Интеллект-карта «окружность»

Код: Выделить всё

Касательная    | R ⟂ касательной в точке касания | угол между касательной и хордой = углу в противоположной дуге
Хорды          | произведение отрезков AC * CB = AD * DB (если из одной точки)
Секущие        | внешняя часть * всю секущую (теорема о секущих)
Углы           | вписанный = половина центрального на ту же дугу; углы между хордами = полусумма дуг
Силы точек     | PA * PB = PT^2 = (секущая)*(секущая) = (касательная)^2

2. Чек-лист по углам и дугам

1. Если нужен угол между касательной и хордой, ищите дугу «за спиной» угла.
2. Если известны дуги, не забывайте, что сумма дуг = 360°.
3. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, всегда 90°.
4. Угол между хордами внутри окружности = полусумма дуг.
5. Угол между хордами вне окружности = полуразность дуг.

3. Теорема Птолемея (запишите!)
Для вписанного четырёхугольника: AC·BD = AB·CD + AD·BC. Позволяет быстро считать диагонали и стороны.

4. Типичная задача
Вписанный четырёхугольник ABCD, известно: AB=5, BC=6, CD=7, угол BAD = 30°, найдите AD.
- Строим диагональ AC.
- Используем закон косинусов в треугольнике BAD.
- Проверяем по Птолемею, чтобы не запутаться с диагоналями.
- В конце оцениваем ответ (примерно ~5).

5. Мини-тренажёр

Код: Выделить всё

1) Найдите угол между касательной и хордой, если дуга равна 80° (ответ 40°).
2) Две хорды пересекаются в точке O. AO=3, OB=4, СО=5. Найдите OD (9/5).
3) Две секущие из точки P: PA=4, PB=10, PC=5. Найдите PD (?), решение: PA * PB = PC * PD => PD = 8.

6. Вписанные четырёхугольники
- Сумма противоположных углов = 180°.
- Произведение диагоналей выражается через сумму произведений сторон (Птолемей).
- Если угловая точка лежит на диаметре, используйте «прямой угол».

7. Чек-лист по окружности и квадратам

Код: Выделить всё

Диаметр ↔ прямой угол
Касательная ↔ перпендикуляр к радиусу
Перпендикуляр из центра ↔ середина хорды
Равные хорды ↔ равные дуги ↔ равные центральные углы

Повесьте этот список возле рабочего стола — взгляд на него перед сном творит чудеса.

8. Домашняя тренировка
1. Решите хотя бы 5 задач из сборника Ященко по главе «Окружность».
2. Составьте свой пример на теорему Птолемея.
3. Нарисуйте цветной «mind-map» — визуализация помогает мозгу.

Вывод
Планиметрия — это набор повторяющихся сюжетов. Чем быстрее узнаёте сюжет, тем быстрее видите решение. Дерзайте!