Параметры в профильном ЕГЭ: алгоритм, чек-лист и тренажёр

[admin]

Что внутри

• универсальный алгоритм разбора параметрических уравнений;
• таблица типовых преобразований для заданий 18 и 19;
• мини-тренажёр на 3 задачи разной сложности.

[hr]
1. Алгоритм «разобрать параметр»

1. Понять структуру: линейность, квадрат, модуль, дробь.
2. Выделить главный инструмент: замена, график, метод интервалов.
3. Рассмотреть особые значения параметра (делитель, подкоренное выражение).
4. Решить уравнение/неравенство при общем параметре.
5. Оформить ответ: интервалы, отдельные точки.

Схема «вид → подход»

Код: Выделить всё

ax+b = 0          → решения по x, анализ существования
квадр. уравнение → дискриминант как функция параметра
модуль            → расписываем на случаи
дробь             → числитель = 0, знаменатель ≠ 0
логарифм          → область определения + переход к экспоненте

2. Таблица типовых преобразований

Код: Выделить всё

Что видим                  | Что делаем
---------------------------|-------------------------------------------
(x-a)(x-b) ≥ 0             | метод интервалов, отмечаем точки на оси
(x-p)^2 + q                | геометрия параболы (смещение вершины)
|x-a| + |x-b|              | делим ось на три промежутка, убираем модули
знаменатель с параметром   | сначала исключаем «запрещённые» значения a
корень √(...)              | ОДЗ + квадратирование по необходимости

3. Мини-тренажёр

Код: Выделить всё

1) Решить (x-a)^2 = 4. Ответ: x = a ± 2.
2) Найти все a, при которых уравнение x^2 - 2ax + a^2 - 9 = 0 имеет два корня. Решение: D > 0 → (-2a)^2 - 4(a^2-9) > 0 → 36 > 0, всегда два, но проверяем совпадение: D = 36 → >0.
3) Неравенство |x-a| ≤ 3. Ответ: x ∈ [a-3; a+3].

4. Прототип задачи 18
Решить неравенство (x-2a)/(x+a) ≥ 1.
- Приводим к общему знаменателю, учитываем знак знаменателя.
- Рассматриваем случай x+a>0 и x+a<0.
- Получаем интервалы по x, в каждом выражаем условия на a.
- В конце оформляем ответ в виде «при a … неравенство выполняется для x …».

5. Карточка «особые значения»

Код: Выделить всё

1. Знаменатель = 0 → отмечаем a, при которых выражение не определено.
2. Подкоренное/логарифм → сохраняем ОДЗ (важно при квадратировании!).
3. Симметрии → иногда полезно сделать замену x = y + k(a).

6. Интерактивный чек-лист (после решения задачи)

• Выделил все ОДЗ? (да/нет)
• Не потерял ли ветви после умножения/деления? (да/нет)
• Знаю ли я, при каких a уравнение вообще имеет смысл? (да/нет)
• Записал ли ответ словами (при a …)? (да/нет)

7. Домашняя работа
- Возьмите 3 задачи с параметром из недавнего варианта.
- Прогоните по алгоритму, заполните чек-лист.
- Сравните с официальным решением — найдите, где можно сократить.

Вывод
Параметры любят порядок. Чем чётче алгоритм, тем меньше неожиданностей. Выполняйте чек-лист — и задача перестанет быть страшной.