- вспоминаем ключевые алгебраические тождества и неравенства;
- получаем «карманные» алгоритмы для преобразований;
- проверяем себя на мини-тренажёре.
1. Формулы сокращённого умножения
Код: Выделить всё
(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)
(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)
a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)
2. Ключевые неравенства
Код: Выделить всё
|a| ≥ 0, |ab| = |a|·|b|
Неравенство Коши: (x^2 + y^2)/2 ≥ xy
Арифметико-геометрическое: (a+b)/2 ≥ √(ab)
Квадрат неотрицателен: (a-b)^2 ≥ 0 ⇒ a^2 + b^2 ≥ 2ab
- Переносим всё в левую часть.
- Находим ОДЗ (знаменатель ≠ 0).
- Разбиваем на множители.
- Строим таблицу знаков (метод интервалов).
- Отмечаем подходящие промежутки, не забываем про ОДЗ.
- Находим критические точки (внутри модулей).
- Делим ось на промежутки.
- На каждом промежутке модуль раскрываем с нужным знаком.
- Решаем простое уравнение/неравенство.
- Склеиваем ответ, проверяя точки.
Код: Выделить всё
1) Решите (x-3)(x+5) ≥ 0. Ответ: x ≤ -5 или x ≥ 3.
2) Найдите значение выражения (a^2 - b^2)/(a-b). Ответ: a + b (при a ≠ b).
3) Решите |2x-6| < 8. Ответ: -1 < x < 7.
4) Докажите, что (x^2+1)/2 ≥ x. Используем (x-1)^2 ≥ 0.
Код: Выделить всё
1. Вынес ли общий множитель?
2. Не забыл ли ОДЗ? (знаменатели, корни)
3. Проверил ли особые случаи (a=b, x=0)?
4. Привёл ли дроби к общему знаменателю перед сложением?
- 10 примеров на метод интервалов.
- 10 выражений на формулы сокращённого умножения.
- 5 неравенств с модулями.
Фиксируйте, что было сложным — это отправная точка для повторения.
Вывод
Чем лучше фундамент, тем меньше случайных ошибок в профильных заданиях. Выделяйте 15 минут в день на повтор базовых формул — это дешёвая страховка.